Dyskusja:Baza (przestrzeń liniowa)

O bazach czegokolwiek ogólnie

Obiekty badań matematycznych i ich odwzorowania zachowujące strukturę dzieli się na kategorie. Kategoria składa się z klasy obiektów i klasy morfizmów, podzielonych na rozłączne zbiory morfizmów odpowiadające jednoznacznie uporządkowanym parom obiektów - dla pary uprządkowanej (A,B) obiektów jest zbiór Mor(A,B) morfizmów z dziedziną A i kodziedziną B; każdy morfizm ma dokładnie jedną dziedzinę i dokładnie jedną kodziedzinę. To wszystko musi spełniać pewne aksjomaty.

Na przykład jest kategoria zbiorów, której obiektami są wszystkie zbiory, a morfizmami wszystkie funkcje. Jest kategoria grup - obiektami są wszystkie grupy, a morfizmami - wszystkie homomorfizmy grup. Jest kategoria grup abelowych, której obiektami są wszystkie grupy abelowe, a morfizmami - wszystkie ich homomorfizmy. Każdy obiekt tej kategorii jest obiektem kategorii grup, a każdy morfizm - morfizmem w kategorii grup, tzn. kategoria grup abelowych jest podkategorią kategorii grup. Natomiast kategoria grup topologicznych, której obiektami są grupy topologiczne (przestrzenie topologiczne z ciągłymi działaniami mnożenia i odwracania), a morfizmami - ciągłe homomorfizmy, nie jest podkategorią kategorii grup, bo wiele grup topologicznych może się różnić tylko topologią, a mieć "w podstawie" tą samą (zwykłą) grupę. Jest kategoria pierścieni, kategoria R-algebr, itd. Jest kategoria przestrzeni wektorowych nad ciałem K, w której morfizmami są przekształcenia liniowe. Jest kategoria przestrzeni liniowo topologicznych nad ciałem zupełnym, z ciągłymi przekształceniami liniowymi jako morfizmami.

Z niektórymi kategoriami związane są działy matematyki: teoria grup zajmuje się kategorią grup, teoria pierścieni - kategorią pierścieni itd. Kategorią przestrzeni wektorowych zajmuje się algebra liniowa, a kategorią przestrzeni liniowo topologicznych - analiza funkconalna.

Jeśli obiektami kategorii są zbiory z działaniami (np. obiekty kategorii snopów modułów nad snopem strukturalnym na rozmaitości nie są zbiorami z działaniami), a morfizmami są ich homomorfizmy, to jest określony funktor zapominania, który każdemu obiektowi przyporządkowuje jego zbiór elementów, a każdemu homomorfizmowi - ten homomorfizm traktowany jako zwykłą funkcję. Innymi słowy - zapominamy o strukturze, zostawiamy "gołe" zbiory i funkcje. Czasami ten funktor ma ma lewy funktor sprzężony: każdemu zbiorowi X odpowiada obiekt A(X) kategorii taki, że jego morfizmy w dowolny obiekt B są w naturalnej (zachowującej składanie) bijekcji z funkcjami zbioru X w zbiór B. Obiekty izomorficzne z A(X) dla dowolnego zbioru X nazywamy obiektami wolnymi, a sam zbiór X - bazą obiektu wolnego A(X). Innymi słowy: w matematyce wolność oznacza posiadanie bazy.

W kategorii grup istnieją obiekty wolne - nazywają się grupy wolne i są podstawowym narzędziem kombinatorycznej teorii grup. W kategorii grup abelowych istnieją obiekty wolne - nazywają się wolne grupy abelowe i są podstawowym narzędziem samej teorii grup abelowych. Ale (z dokładnością do izomorfizmu) tylko jedna wolna grupa abelowa jest grupą wolną (nieskończona grupa cykliczna). Byłoby nonsensem w artykule o bazach wolnych grup abelowych wspominać jako uogólnienie bazy grup wolnych - jedyny związek jest taki, że abelianizacja grupy wolnej z bazą X jest wolną grupą abelową z bazą X. W drugą stronę nie ma związku; wolne grupy abelowe przydają się do badania grup wolnych, ale nie odwrotnie.

Obiekty wolne kategorii algebr przemiennych nad pierścieniem R i ich R-homomorfizmów to pierścienie wielomianów ("dowolnej liczby" zmiennych). W kategorii wszystkich algebr nad pierścieniem R też są obiekty wolne, ale praktycznie są bezużyteczne. Nie ma sensu do artykułu o pierścieniach wielomianów wkładać odwołań do algebr wolnych, natomiast w artykule o algebrach wolnych potrzebne będą pierścienie wielomianów.

W kategorii przestrzeni liniowych nad ciałem każdy obiekt jest wolny - ma bazę. Każdy obiekt kategorii przestrzeni liniowo topologicznych wyznacza obiekt kategorii przestrzeni wektorowych; z reguły wiele różnych przestrzeni liniowo topologicznych jest tą samą (z dokładnością do izomorfizmu) przestrzenią wektorową. Zdaje się, że nie każdy obiekt kategorii przestrzeni liniowo topologicznych jest wolny (ma bazę). Jaki jest sens do artykułu o algebrze liniowej (bazach przestrzeni wektorowych) pakować błednie sformułowane reminiscencje z analizy funkcjonalnej? To w artykule o bazach Schaudera, jednostajnych i jeszcze jakie tam są trzeba wspomnieć, że po zapomnieniu topologii zostaje goła przestrzń wektorowa, która ma swoją bazę przestrzeni wektorowej, którą w tym kontekście nazywa się bazą Hamela.

Pakowanie formalizmu, oznaczeń i nawyków z analizy funkcjonalnej do algebry liniowej nie ma sensu, i wymusza widoczny tu efekt: definicja bazy przestrzeni wektorowej (coś z algebry liniowej) nie daje możliwości określenia macierzy przekształcenia liniowego, czyli nie daje możliwości uprawiania algebry liniowej.

Wydaje mi się, że więcej sensu miałoby w kontekście algebry liniowej wspominanie o bazach wolnych grup abelowych i modułów wolnych, niż o bazach używanych w analizie funkcjonalnej. I kto wpadł na pomysł, że pojęcie np. bazy Schaudera jest uogólnieniem pojęcia bazy Hamela? Najlepiej przenieść jedne i drugie do analizy funkcjonalnej, a w algebrze liniowej zostawić to, co jest w niej niezbędne: bazy uporządkowane.

--155.158.105.120 15:00, 30 maja 2007 (CEST)MSz

Propozycja zmiany

Cytat:

Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna.

Coś tu się chyba zapętliło: skoro dopiero dowodzimy, że przestrzeń ma bazę, to skąd mamy wiedzieć, czy "istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń"? Gdybyśmy to wiedzieli (skąd?), to byłoby po dowodzie. Ponadto nie warto chyba rozpatrywać tych dwóch przypadków osobno: jeśli przestrzeń jest skończeniewymiarowa, to jest izomorficzna z $F^{n}$, gdzie $F$ jest odpowiednim ciałem, i istnienie bazy jest trywialne. Proponuję ten akapit zmienić na coś w tym stylu (być może jest tu za dużo linków?):

Istnienie bazy

Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa posiada bazę. Standardowy dowód przebiega następująco: rodzina wszystkich zbiorów zbiorów liniowo niezależnych jest niepusta (bo zawiera np. wszystkie jednoelementowe podzbiory rozważanej przestrzeni) oraz częściowo uporządkowana relacją inkluzji; suma każdego łańcucha w tej rodzinie jest też zbiorem liniowo niezależnym. Wystarczy teraz zastosować lemat Kuratowskiego-Zorna. Rozumowanie to pozwala też udowodnić tzw. twierdzenie Steinitza o uzupełnianiu, mówiące o tym, że każdy liniowo niezależny zbiór wektorów przestrzeni liniowej można uzupełnić do bazy.

Dowodzi się również, że istnienie bazy w każdej przestrzeni liniowej jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Mbork 21:07, 22 lip 2005 (CEST)

Nie wszystkie podzbiory jednoelementowe! Wszystkie z wyjątkiem tego, któego elementem jest wektor zerowy!

Wygodniej jest zacząć: "rodzina wszystkich liniowo niezależnych podzbiorów jest niepusta, bo należy do niej zbiór pusty". Ponadto jak już dowodzić, to wypadałoby przerachowć, że suma łańcucha jest liniowo niezależna.

--194.146.251.82 21:21, 13 maja 2007 (CEST)MSz

Kolejność wektorów bazowych i współrzędne.

Czasami definiuje się bazy jako zbiory, po czym zamienia się je na bazy uporządkowane, które są ciągami (dla skończonego wymiaru) lub układami (w dowolnym przypadku). Czasem definiuje się bazy od razu jako układy wektorów, co jest wygodne.

Ale jeśli pominąć tę sprawę milczeniem, to okazuje się, że są kłopoty. Na przykład, jeśli bazą przestrzeni R^2 jest zbiór {(1,0),(0,1)} bez wybranej kolejności wektorów, to baza nie wyznacza współrzędnych wektora - wektor (a,b) ma współrzędne {a,b} takie same jak wektor (b,a) (nie wiadomo która współrzędna jest pierwsza, bo nie wiadomo, który wektor bazowy jest pierwszy). Na dodatek wektor (1,1) ma współrzędne {1,1}={1}. Analogicznie w wymiarze trzy każdy z wektorów (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2) ma współrzędne {1,2}.

Jeśli liniową niezależność definiuje się dla zbiorów wektorów (a nie układów) i definiuje bazy jako zbiory, to trzeba wprowadzić dodatkowe pojęcie bazy uporządkowanej (ciąg elementów bazy, każdy jeden raz) i tylko baza uporządkowana określa bijekcję między zbiorem wszystkich wektorów a zbiorem $K^{n}$. Zbiór wektorów który jest bazą tworzy bazę uporządkowaną, kiedy go uporządkować (ustawić w ciąg). Wektory takie to a takie tworzą bazę, gdy je uporządkować (ustawić w ciąg).

Wszystkie te kłopoty znikają, jeśli od razu bazę zdefiniować jako maksymalny liniowo niezależny układ wektorów.

--194.146.251.82 21:40, 13 maja 2007 (CEST)MSz

Nie ma kłopotów. Baza to zbiór. Oczywiście że zbiór współrzednych nie wystarczy aby wyznaczać wektor, ale ten "kłopot" nie znika gdy definiujemy bazę jako ciąg. W reprezentacji wektora w jako suma $\sum _{b\in B}\lambda _{b}b$, każdy element b bazy B ma współczynnik λ_b; układ tych współczynników, czyli funkcja $b\mapsto \lambda _{b}$ nazywamy współrzednymi.

To prawda że tylko baza uporządkowana określa bijekcję między zbiorem wszystkich wektorów a zbiorem $K^{n}$. Ale inne cechy i zastosowania bazy (niezależność, representacja przestrzeni jako suma podprzestrzeni, definicja funkcji liniowych przez definicję na bazie, itd) nie potrzebują uporządkowania.

--Alef 15:48, 14 maja 2007 (CEST)

Nie ma kłopotu? Zamiast pisać (1,1) trzeba pisać $(1_{(1,0)},1_{(0,1)})$. I nie ma pierwszej współrzędnej, jest współrzędna (1,0)-nta. To ładnie wygląda powyżej, gdzie symbolem wektora bazowego jest jeden znak b, ale w artykule pojawiły się podwójne indeksy.

BTW, "Uogólnienia" powtarzają (udokładniają) moją poprawkę przy nazwie "baza Hamela" (trzeci akapit definicji). Tylko ja chodziłem na wykład pod tytułem "Przestrzenie liniowo-topologiczne". Może by to zlać w jedno?

I jeszcze raz: w definicji (drugi akapit) możnaby chyba napisać prosto: "maksymalność oznacza, że każdy...".

--194.146.251.82 17:30, 16 maja 2007 (CEST)MSz

Acha, jak będzie wyglądać macierz przekształcenia liniowego bez baz uporządkowanych?

--194.146.251.82 13:12, 18 maja 2007 (CEST)MSz

W przestrzeni $K^{n}$ (gdy K jest ciałem, np $K=\mathbb {R}$) mamy kanoniczną bazę: (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1), i mamy naturalny porządek tej bazy. W tym przestrzeni mamy pierwszą, drugą itd współrzędną, rozumiemy jak macierze "są" (albo definiują) przekształcenia liniowy, itd. Ale w ogolnej przestrzeni można mówić o "pierwszej współrzędnej" tylko po ustaleniu tozsamości z przestrzenią K^n. Jeśli przestrzeń W ma nieskończony wymiar, to wcale nie możemy pisać wektory jako n-tkę (krotka) współrzędnych. --Alef 17:53, 19 paź 2007 (CEST)

Powłoka liniowa

Termin "powłoka liniowa" jest (coraz częściej) używany. Z pewnością jest lepszy, niż karykaturalne "rozpięcie". Jednakże starszy termin "podprzestrzeń generowana przez zbiór" (i "podprzestrzeń rozpięta przez zbiór") też jest często używany. Sądzę, że będzie w użyciu długo, bo pasuje do ogólnej struktury pojęć algebraicznych: jest podgrupa generowana przez zbiór, podpierścień generowany przez zbiór (nad jeszcze jednym podpierścieniem), ideał generowany przez zbiór, podciało generowane przez zbiór (nad jeszcze jednym podciałem). BTW, w tym samym zdaniu prześlizgnął się układ, gdy najwyraźniej przegłosowano zbiór.

Może dopisać w nawiasie po "powłoką liniową" starsze nazwy? --194.146.251.82 17:50, 16 maja 2007 (CEST)MSz

Warto o tym wspomnieć. Ostatnio dość popularne staje się także określenie otoczka liniowa (czy to wzorem otoczki mierzalnej lub otoczki wypukłej? A może na odwrót?). Czy informacje dotyczące podprzestrzeni generowanej przez zbiór należy zawrzeć jako akapit tego artykułu czy w istniejącym i wołającym o pomstę do nieba - Lin (matematyka) (oczywiście pod inną nazwą). Jest też przekierowanie do innego artykułu otoczka liniowa. Loxley 20:22, 16 maja 2007 (CEST)

Hmm... wypukła to była powłoka. Czy jest jakiś poważny tekst matematyczny z nazwą "otoczka liniowa"?

--155.158.105.120 14:13, 30 maja 2007 (CEST)MSz

Orientacja bazy

Tak sobie czytam o orientacji bazy i nie rozumiem - to w dowolnych p.l. są bazy standardowe? ćwok.

To jest fragment sekcji "Przestrzenie euklidesowe". Dwa akapity wyżej masz definicję bazy standardowej w takiej przestrzeni. O innych przestrzeniach liniowych sekcja o orientacji bazy nic nie mówi. Olaf @ 01:04, 6 sty 2009 (CET)

Zmiana nazwy

Wg mnie nie należy zmieniać nazwy na "Baza (algebra liniowa)". W celu ujednolicenia nazewnictwa sugerowałbym raczej zmianę nazwy artykułu "Baza (topologia)" na "Baza (przestrzeń topologiczna)", bo przecież przestrzenie liniowe czy topologiczne pojawiają się nie tylko w topologii czy algebrze liniowej. Pozdrawiam --Raq0 (dyskusja) 15:27, 22 cze 2009 (CEST)

Bardzo wnikliwe i prawdziwe, choć argument mnie nie przekonuje. Proszę zauważyć, że większość pojęć klasyfikowana jest dziedziną wiedzy (są wyjątki od reguły, zwykle uzasadnione).

Artykuł ma nazwę "Baza (przestrzeń liniowa)" i znajduje się w kategorii Algebra liniowa. Czyż to nie jest piękny i uzasadniony kompromis? Pozdrawiam --Raq0 (dyskusja) 14:30, 23 cze 2009 (CEST)

Poza tym ktoś może wiedzieć, że chodzi mu o bazę przestrzeni liniowej, a dowiedział się o jej istnieniu np. na przedmiocie, który nazywa się "Wstęp do matematyki". Skąd wtedy może wiedzieć, że baza o którą mu chodzi to "ta" baza z działu Algebra liniowa a nie z ta z Topologia? Ja bym wpisał do wyszukiwarki: "Baza przestrzeń liniowa" a nie "Baza wstęp do matematyki" --Raq0 (dyskusja) 15:34, 22 cze 2009 (CEST)

Nie chodzi tu o ideologię, ale o to, że wspomniana baza może dotyczyć szerszego kontekstu niż przestrzeń liniowa, np. modułu wolnego; chyba, że przejdzie nazwa "Baza (przestrzeń liniowa/moduł wolny/wolna grupa abelowa)", którą ktoś będzie wyszukiwał pisząc "baza przestrzeń liniowa lub moduł wolny poznane na przedmiocie lingwistyka stosowana, a tylko wspomniana na chemia organiczna" (chyba, że nie będziemy tego opisywać).

Oczywiście, że artykuł może dotyczyć szerszego kontekstu niż przestrzeń liniowa, jednak na razie nie dotyczy. Być może po odpowiednim poszerzeniu artykułu należałoby zastanowić się nad zmianą nazwy. W kształcie w jakim jest aktualnie uważam zmianę nazwy za nieuzasadnioną. Póki co opis (oczywiście nie tak dokładny jak piszesz:) powinien zostać dla rozróżnienia od baz innych przestrzeni właśnie. Pozdrawiam --Raq0 (dyskusja) 14:30, 23 cze 2009 (CEST)